Aspekte des Damen-Problems
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Entstehen Primzahlen aus falschen binomischen Formeln?
In der Schule mussten wir die sogenannte binomischen Formeln lernen; sie erinnern sich
vielleicht auch an die drei Formeln
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b) (a - b) = a² - b²
Die ersten beiden sind sehr ähnlich, und man muss sich nur merken, dass das Minus-Zeichen
nur beim mittleren Glied vorkommt, und eben nicht beim b². Die dritte Formel wurde auch
die gemischte Formel genannt, und bei ihr taucht ein Minus vor dem Quadrat auf,
und die rechte Seite ist einfacher als die linke Seite.
Die Schwierigkeit dabei war nicht das Rechnen der Formel von links nach rechts;
wir sollten lernen, die Formeln auch von rechts nach links zu benutzen und zum Beispiel
einen Bruch-Term wie
a² - b²
------- vereinfachen zu 1/3 (a + b)
3a - 3b
Mit Primzahlen hat das erst einmal nichts zu tun - oder doch? Man kann ja
probieren, für a und b Zahlen einzusetzen. Im folgenden beschränken wir uns
dabei auf positive ganzen Zahlen a und b, mit a > b.
Wenn man Primzahlen sucht, dann sollte man es am besten nicht
mit einer Zahl a² - b² versuchen; die Formel gibt ja gerade eine Zerlegung
in ein Produkt, und damit ist das Ergebnis von a² - b² eben keine Primzahl,
außer in dem Sonderfall, dass a - b = 1 ist.
Mit diesem Sonderfall kann man alle ungeraden Zahlen erreichen, und damit auch
alle Primzahlen außer der 2, aber das nur am Rande.
Die Zahlen, die sich aus den ersten beiden Formeln ergeben, sind ebenso ungeeignet,
wenn wir Primzahlen finden wollen; Quadrate sind keine Primzahlen.
Es kam öfters vor, dass fälschlich (a + b)² = a² + b² gerechnet wurde; dies will ich
als Fehler 1 bezeichnen. Das ist ja auch verführerisch, denn bei der Multiplikation
gilt (a + b) * 2 = a * 2 + b * 2. Das letztere schreibt man gewöhnlich andersherum,
was nicht viel zur Sache tut.
Fehler 2 ist dann, dass man die 2 beim mittleren Term
vergisst, also (a + b)² = a² + ab + b² rechnet, und Fehler 3, dass vor das b²
auch ein Minuszeichen setzt, also (a - b)² = a² - ab - b² rechnet.
Im Folgenden verwenden wir dies mit dem Plus-Zeichen vor dem mittleren Term; das ist äquivalent:
erreicht man eine Zahl mit a² - ab - b², so erreicht man sie auch mit a² + ab - b², mit etwas kleinerem a und b.
Interessant ist jetzt, dass man mit den drei Fehler-Termen
a² + b²
a² + ab + b²
a² + ab - b²
ziemlich viele Primzahlen erhalten kann, und dies auch noch in einer gewissen Ordnung.
Das zeigt die nachfolgende Tabelle. Je nach Typ sind die Primzahlen dort unterschiedlich gefärbt.
Die Zahlen der Form a² + b² sind als Gaußsche Zahlen zerlegbar;
jede Primzahl p, die bei Division durch 4 den Rest 1 ergibt, ist eine solche Zahl, und erscheint in der Tabelle auf gelbem Hintergrund.
Bei einigen Primzahlen kann es vorkommen, dass man sie mit zwei
(oder gar allen drei? das weiß ich noch nicht) von diesen Termen erreichen kann.
Zum Beispiel lässt sich 13 schreiben als 3² + 2² = 9 + 4, und auch als 3² + 3 * 1 + 1².
Die Primzahlen der ersten Formel stehen alle auf gelbem Hintergrund, unabhängig davon, ob sie auch über die anderen Formel zu erreichen sind.
Primzahlen, die man nur mit der zweiten Formel erreicht, haben blauen Hintergrund, die mit der dritten eine roten.
Wenn man eine Primzahl sowohl mit der zweiten als mit der dritten Formel erreicht, dann ist ihr Hintergrund grün.
Die Tabelle ist sehr "sparsam" angelegt: Zahlen, die durch 2, 3 oder 5
teilbar sind, sind gar nicht berücksichtigt. Für einen Bereich von 30 Zahlen
ergeben sich dann nur 8 Möglichkeiten, wo eine Primzahl stehen kann.
Anfangs sollte die Tabelle diese 8 Spalten haben. Damit entsteht - mit der obigen Färbung -
eine bunte Tabelle. Verdoppelt man den Bereich für eine Tabellen-Zeile aber auf 60 Zahlen,
und damit auf 16 Spalten, dann taucht in jeder Spalte plötzlich nur noch eine Farbe auf!
Und darüber hinaus: alle Primzahlen einer jeden Spalte sind gefärbt, und zwar mit derselben Farbe.
Acht von den 16 Spalten enthalten Primzahlen der Form a²+b²,
zwei Primzahlen der Form a²+ab+b², zwei solche der Form a²+ab-b², und zwei Primzahlen,
die sich sowohl mit der zweiten als mit der dritten Formel erreichen lassen.
Die letzten beiden Spalten enthalten auch einige Primzahlen, die aber zu keiner
der drei "falschen Formeln" passen.
Die Primzahlen der Form a² + b² sind übrigens auch
in der OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences)
unter A002144 verzeichnet.
Die Primzahlen der Form a² + ab + b² stehen
unter A068229 (zusammen mit denen, die beide Darstellung erlauben),
und die der Form a² + ab - b²
unter A141302.
Aber auch die Primzahlen in den beiden Spalten, denen keine einfache quadratische Formel
zugeordnet ist, findet man dort, nämlich unter A107169.
Legende |
Primzahl der Form a²+b² |
Primzahl der Form a²+ab+b² |
Primzahl der Form a²+ab-b² |
Primzahl, die sowohl a²+ab+b² als auch a²+ab-b² erlaubt. |
Keine Primzahl, sondern ein Produkt a*b |
Primzahl ohne einfache quadratische Form |
|
| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
0 | 1 | 2_1 | 3_1 | 3_2 | 4_1 | 3_2 | 23 | 5_2 | 5_1 | 6_1 | 5_4 | 6_1 | 47 | 7 * 7 | 7_2 | 7_2 |
60 | 6_5 | 7_2 | 8_1 | 8_3 | 7 * 11 | 7_3 | 83 | 8_5 | 7 * 13 | 9_4 | 10_1 | 9_2 | 107 | 10_3 | 8_7 | 7 * 17 |
120 | 11 * 11 | 7_6 | 11_1 | 7 * 19 | 11_4 | 10_3 | 11 * 13 | 10_7 | 9_5 | 11_6 | 7 * 23 | 11_3 | 167 | 13 * 13 | 13_2 | 12_5 |
180 | 10_9 | 11 * 17 | 13_2 | 12_7 | 14_1 | 13_2 | 7 * 29 | 11 * 19 | 14_1 | 7 * 31 | 13 * 17 | 11_6 | 227 | 15_2 | 13_8 | 15_1 |
240 | 15_4 | 13 * 19 | 15_2 | 11 * 23 | 16_1 | 7 * 37 | 263 | 13_10 | 10_9 | 14_9 | 16_5 | 13_6 | 7 * 41 | 17 * 17 | 17_2 | 13 * 23 |
300 | 7 * 43 | 17_1 | 16_5 | 13_12 | 14_11 | 11 * 29 | 17 * 19 | 7 * 47 | 11_10 | 16_9 | 11 * 31 | 7 * 49 | 347 | 18_5 | 17_8 | 17_7 |
360 | 19 * 19 | 13_9 | 7 * 53 | 18_7 | 13 * 29 | 15_7 | 383 | 17_10 | 17 * 23 | 19_6 | 20_1 | 13 * 31 | 11 * 37 | 20_3 | 7 * 59 | 20_1 |
420 | 15_14 | 7 * 61 | 19_5 | 17_12 | 19 * 23 | 18_5 | 443 | 20_7 | 11 * 41 | 21_4 | 19_10 | 21_1 | 467 | 7 * 67 | 11 * 43 | 21_2 |
480 | 13 * 37 | 21_2 | 20_7 | 17 * 29 | 7 * 71 | 18_7 | 503 | 22_5 | 7 * 73 | 11 * 47 | 20_11 | 17_9 | 17 * 31 | 23 * 23 | 13 * 41 | 11 * 49 |
540 | 21_10 | 14_13 | 19 * 29 | 7 * 79 | 19_14 | 13 * 43 | 563 | 20_13 | 21_5 | 24_1 | 7 * 83 | 11 * 53 | 587 | 19 * 31 | 23_8 | 24_1 |
600 | 24_5 | 23_3 | 13 * 47 | 18_17 | 19_16 | 22_5 | 7 * 89 | 17 * 37 | 15_14 | 13 * 49 | 25_4 | 18_11 | 647 | 11 * 59 | 22_13 | 23_10 |
660 | 25_6 | 23 * 29 | 11 * 61 | 23_12 | 26_1 | 7 * 97 | 683 | 13 * 53 | 19_11 | 17 * 41 | 26_5 | 19 * 37 | 7 * 101 | 22_15 | 23 * 31 | 24_11 |
720 | 7 * 103 | 18_13 | 17 * 43 | 27_2 | 11 * 67 | 23_7 | 743 | 7 * 107 | 21_10 | 26_9 | 20_19 | 7 * 109 | 13 * 59 | 25_12 | 22_17 | 19 * 41 |
780 | 11 * 71 | 27_2 | 7 * 113 | 13 * 61 | 26_11 | 17 * 47 | 11 * 73 | 28_5 | 25_6 | 19 * 43 | 25_14 | 19_14 | 827 | 27_10 | 17 * 49 | 27_5 |
840 | 29 * 29 | 11 * 77 | 23 * 37 | 23_18 | 29_4 | 23_10 | 863 | 11 * 79 | 13 * 67 | 29_6 | 25_16 | 21_13 | 887 | 7 * 127 | 19 * 47 | 29 * 31 |
900 | 17 * 53 | 26_7 | 27_13 | 11 * 83 | 7 * 131 | 18_17 | 13 * 71 | 23_20 | 19 * 49 | 24_19 | 29_10 | 23 * 41 | 947 | 13 * 73 | 28_13 | 7 * 137 |
960 | 31 * 31 | 27_7 | 28_11 | 7 * 139 | 31_4 | 11 * 89 | 983 | 23 * 43 | 26_9 | 31_6 | 13 * 77 | 17 * 59 | 19 * 53 | 28_15 | 23_22 | 31_2 |
| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
1020 | 30_11 | 13 * 79 | 29_10 | 32_3 | 17 * 61 | 22_15 | 7 * 149 | 32_5 | 29_6 | 7 * 151 | 31_10 | 31_3 | 11 * 97 | 30_13 | 29 * 37 | 13 * 83 |
1080 | 23 * 47 | 21_17 | 31_5 | 33_2 | 29_16 | 7 * 157 | 1103 | 25_22 | 11 * 101 | 26_21 | 19 * 59 | 33_1 | 23 * 49 | 27_20 | 11 * 103 | 17 * 67 |
1140 | 7 * 163 | 31 * 37 | 33_2 | 33_8 | 13 * 89 | 19 * 61 | 1163 | 7 * 167 | 25_14 | 11 * 107 | 34_5 | 13 * 91 | 1187 | 29 * 41 | 32_13 | 11 * 109 |
1200 | 25_24 | 17 * 71 | 7 * 173 | 27_22 | 31_16 | 23 * 53 | 1223 | 35_2 | 29_10 | 34_9 | 17 * 73 | 11 * 113 | 29 * 43 | 32_15 | 7 * 179 | 35_1 |
1260 | 13 * 97 | 7 * 181 | 31 * 41 | 19 * 67 | 34_11 | 33_5 | 1283 | 35_8 | 26_15 | 36_1 | 26_25 | 27_14 | 1307 | 17 * 77 | 13 * 101 | 33_10 |
1320 | 36_5 | 23_19 | 11 * 121 | 31 * 43 | 7 * 191 | 13 * 103 | 17 * 79 | 19 * 71 | 7 * 193 | 23 * 59 | 31_20 | 29 * 47 | 1367 | 37 * 37 | 37_2 | 7 * 197 |
1380 | 34_15 | 19 * 73 | 13 * 107 | 7 * 199 | 11 * 127 | 25_18 | 23 * 61 | 28_25 | 17 * 83 | 13 * 109 | 29 * 49 | 31_11 | 1427 | 30_23 | 37_8 | 37_2 |
1440 | 11 * 131 | 37_2 | 36_5 | 38_3 | 31 * 47 | 30_13 | 19 * 77 | 13 * 113 | 35_6 | 7 * 211 | 35_16 | 38_1 | 1487 | 33_20 | 38_7 | 36_7 |
1500 | 19 * 79 | 11 * 137 | 35_13 | 17 * 89 | 37 * 41 | 31 * 49 | 1523 | 11 * 139 | 26_19 | 29 * 53 | 23 * 67 | 34_9 | 17 * 91 | 35_18 | 32_23 | 39_1 |
1560 | 7 * 223 | 38_3 | 36_11 | 13 * 121 | 19 * 83 | 37_5 | 1583 | 7 * 227 | 37 * 43 | 34_21 | 40_1 | 7 * 229 | 1607 | 40_3 | 38_13 | 36_17 |
1620 | 39_10 | 37_6 | 7 * 233 | 23 * 71 | 31_26 | 11 * 149 | 31 * 53 | 17 * 97 | 13 * 127 | 36_19 | 11 * 151 | 26_21 | 1667 | 38_15 | 7 * 239 | 23 * 73 |
1680 | 41 * 41 | 7 * 241 | 19 * 89 | 37_18 | 41_4 | 30_17 | 13 * 131 | 35_22 | 29 * 59 | 17 * 101 | 40_11 | 41_1 | 11 * 157 | 19 * 91 | 38_17 | 37 * 47 |
1740 | 30_29 | 33_14 | 17 * 103 | 32_27 | 7 * 251 | 38_7 | 41 * 43 | 29 * 61 | 23 * 77 | 39_16 | 13 * 137 | 37_9 | 1787 | 42_5 | 11 * 163 | 7 * 257 |
1800 | 35_24 | 13 * 139 | 39_10 | 37 * 49 | 23 * 79 | 17 * 107 | 1823 | 31 * 59 | 30_19 | 11 * 167 | 7 * 263 | 19 * 97 | 1847 | 43 * 43 | 17 * 109 | 13 * 143 |
1860 | 31_30 | 38_9 | 39_14 | 33_28 | 41_14 | 27_23 | 7 * 269 | 40_17 | 31 * 61 | 7 * 271 | 35_26 | 11 * 173 | 1907 | 23 * 83 | 43_8 | 19 * 101 |
1920 | 17 * 113 | 41 * 47 | 43_2 | 42_13 | 13 * 149 | 7 * 277 | 29 * 67 | 43_10 | 26_25 | 19 * 103 | 37 * 53 | 13 * 151 | 7 * 281 | 11 * 179 | 38_23 | 44_1 |
| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
1980 | 7 * 283 | 43_3 | 11 * 181 | 43_12 | 34_29 | 42_5 | 2003 | 41 * 49 | 39_10 | 44_9 | 43 * 47 | 17 * 119 | 2027 | 45_2 | 19 * 107 | 43_5 |
2040 | 13 * 157 | 23 * 89 | 7 * 293 | 42_17 | 17 * 121 | 29 * 71 | 2063 | 38_25 | 19 * 109 | 31 * 67 | 41_20 | 37_14 | 2087 | 45_8 | 23 * 91 | 41_19 |
2100 | 11 * 191 | 43 * 49 | 45_2 | 33_32 | 29 * 73 | 13 * 163 | 11 * 193 | 40_23 | 41_9 | 36_29 | 46_5 | 43_6 | 19 * 113 | 7 * 307 | 37_28 | 17 * 127 |
2160 | 44_15 | 11 * 197 | 13 * 167 | 41 * 53 | 7 * 311 | 35_18 | 37 * 59 | 11 * 199 | 7 * 313 | 13 * 169 | 31 * 71 | 31_23 | 2207 | 47 * 47 | 47_2 | 7 * 317 |
2220 | 45_14 | 17 * 131 | 23 * 97 | 29 * 77 | 46_11 | 38_15 | 2243 | 13 * 173 | 35_19 | 37 * 61 | 19 * 119 | 31 * 73 | 2267 | 37_30 | 47_8 | 43 * 53 |
2280 | 45_16 | 37_17 | 29 * 79 | 42_23 | 44_19 | 19 * 121 | 47 * 49 | 47_10 | 34_21 | 7 * 331 | 11 * 211 | 23 * 101 | 13 * 179 | 17 * 137 | 43_22 | 44_13 |
2340 | 46_15 | 42_11 | 48_1 | 13 * 181 | 41_26 | 7 * 337 | 17 * 139 | 23 * 103 | 46_5 | 44_21 | 35_34 | 41_13 | 31 * 77 | 42_25 | 37_32 | 45_11 |
2400 | 49 * 49 | 29 * 83 | 44_19 | 19 * 127 | 49_4 | 41 * 59 | 2423 | 7 * 347 | 17 * 143 | 49_6 | 40_29 | 7 * 349 | 2447 | 31 * 79 | 11 * 223 | 45_14 |
2460 | 23 * 107 | 34_23 | 7 * 353 | 48_13 | 46_19 | 37 * 67 | 13 * 191 | 19 * 131 | 47 * 53 | 11 * 227 | 41 * 61 | 49_2 | 23 * 109 | 13 * 193 | 7 * 359 | 11 * 229 |
2520 | 36_35 | 19 * 133 | 45_22 | 17 * 149 | 43 * 59 | 33_25 | 2543 | 50_7 | 50_1 | 46_21 | 13 * 197 | 11 * 233 | 17 * 151 | 7 * 367 | 31 * 83 | 47_10 |
2580 | 29 * 89 | 13 * 199 | 48_7 | 48_17 | 49 * 53 | 23 * 113 | 19 * 137 | 47_20 | 7 * 373 | 51_4 | 50_11 | 43 * 61 | 37 * 71 | 11 * 239 | 43_28 | 29 * 91 |
2640 | 19 * 139 | 43_14 | 11 * 241 | 7 * 379 | 49_16 | 50_3 | 2663 | 17 * 157 | 49_5 | 39_34 | 7 * 383 | 38_21 | 2687 | 40_33 | 47_22 | 51_2 |
2700 | 37 * 73 | 51_2 | 48_11 | 52_3 | 19 * 143 | 43_15 | 7 * 389 | 52_5 | 49_6 | 23 * 119 | 46_25 | 13 * 211 | 41 * 67 | 43_30 | 52_7 | 31 * 89 |
2760 | 11 * 251 | 42_17 | 17 * 163 | 47 * 59 | 44_29 | 7 * 397 | 23 * 121 | 50_17 | 31_30 | 51_14 | 49_20 | 34_27 | 7 * 401 | 53 * 53 | 29 * 97 | 49_11 |
2820 | 31 * 91 | 11 * 257 | 19 * 149 | 48_23 | 41_34 | 17 * 167 | 2843 | 37 * 77 | 45_14 | 51_16 | 50_19 | 7 * 409 | 47 * 61 | 19 * 151 | 17 * 169 | 48_23 |
2880 | 43 * 67 | 33_29 | 49 * 59 | 11 * 263 | 44_31 | 13 * 223 | 2903 | 53_10 | 41 * 71 | 54_1 | 23 * 127 | 37 * 79 | 2927 | 29 * 101 | 7 * 419 | 52_5 |
2940 | 17 * 173 | 7 * 421 | 13 * 227 | 53_12 | 46_29 | 11 * 269 | 2963 | 40_37 | 54_1 | 13 * 229 | 11 * 271 | 19 * 157 | 29 * 103 | 49 * 61 | 41 * 73 | 49_23 |
| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
3000 | 51_20 | 31 * 97 | 51_10 | 23 * 131 | 7 * 431 | 38_25 | 3023 | 13 * 233 | 7 * 433 | 54_11 | 55_4 | 17 * 179 | 11 * 277 | 45_32 | 43 * 71 | 23 * 133 |
3060 | 55_6 | 41_22 | 37 * 83 | 7 * 439 | 17 * 181 | 45_17 | 3083 | 55_8 | 11 * 281 | 19 * 163 | 7 * 443 | 29 * 107 | 13 * 239 | 47_30 | 11 * 283 | 51_14 |
3120 | 40_39 | 53 * 59 | 31 * 101 | 13 * 241 | 56_1 | 43 * 73 | 7 * 449 | 47 * 67 | 23 * 137 | 41 * 77 | 29 * 109 | 53_6 | 3167 | 55_12 | 19 * 167 | 17 * 187 |
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| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
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| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
5040 | 71 * 71 | 49 * 103 | 68_7 | 31 * 163 | 13 * 389 | 45_37 | 61 * 83 | 37 * 137 | 11 * 461 | 71_6 | 59_40 | 23 * 221 | 5087 | 7 * 727 | 11 * 463 | 65_19 |
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| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
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6360 | 69_40 | 58_33 | 23 * 277 | 78_17 | 7 * 911 | 70_17 | 13 * 491 | 58_55 | 77 * 83 | 59_54 | 37 * 173 | 19 * 337 | 43 * 149 | 29 * 221 | 53 * 121 | 49 * 131 |
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| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
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| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
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9840 | 13 * 757 | 43 * 229 | 92_19 | 59 * 167 | 89_44 | 83_27 | 7 * 1409 | 71 * 139 | 91_15 | 83 * 119 | 41 * 241 | 74_39 | 9887 | 31 * 319 | 13 * 761 | 19 * 521 |
9900 | 99_10 | 98_3 | 53 * 187 | 23 * 431 | 47 * 211 | 91 * 109 | 9923 | 85_52 | 61_54 | 19 * 523 | 71_70 | 61 * 163 | 49 * 203 | 90_43 | 37 * 269 | 23 * 433 |
9960 | 7 * 1423 | 87_22 | 59 * 169 | 82_57 | 11 * 907 | 17 * 587 | 67 * 149 | 7 * 1427 | 97 * 103 | 13 * 769 | 73 * 137 | 7 * 1429 | 10007 | 100_3 | 31 * 323 | 43 * 233 |
| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
10020 | 11 * 911 | 37 * 271 | 7 * 1433 | 79 * 127 | 89_46 | 78_35 | 83 * 121 | 13 * 773 | 23 * 437 | 89 * 113 | 94_35 | 29 * 347 | 10067 | 87_50 | 7 * 1439 | 91_29 |
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10200 | 101 * 101 | 59 * 173 | 93_22 | 7 * 1459 | 17 * 601 | 11 * 929 | 10223 | 53 * 193 | 13 * 787 | 29 * 353 | 77 * 133 | 91_18 | 10247 | 37 * 277 | 83_58 | 93_23 |
10260 | 31 * 331 | 59_58 | 99_5 | 87_52 | 43 * 239 | 19 * 541 | 91 * 113 | 100_17 | 41 * 251 | 7 * 1471 | 101_10 | 101_1 | 11 * 937 | 61 * 169 | 92_43 | 17 * 607 |
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10620 | 43 * 247 | 62_57 | 95_22 | 49 * 217 | 11 * 967 | 73_45 | 29 * 367 | 23 * 463 | 65_54 | 81_64 | 7 * 1523 | 66_53 | 10667 | 47 * 227 | 13 * 821 | 59 * 181 |
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10740 | 23 * 467 | 11 * 977 | 13 * 827 | 103_12 | 31 * 347 | 53 * 203 | 47 * 229 | 89 * 121 | 89_25 | 13 * 829 | 91_50 | 41 * 263 | 67 * 161 | 95_42 | 43 * 251 | 93_43 |
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10860 | 94_45 | 83_34 | 7 * 1553 | 83 * 131 | 73 * 149 | 43 * 253 | 10883 | 80_67 | 99_10 | 17 * 641 | 11 * 991 | 91_23 | 13 * 839 | 90_53 | 7 * 1559 | 61 * 179 |
10920 | 67 * 163 | 49 * 223 | 17 * 643 | 29 * 377 | 104_11 | 102_5 | 31 * 353 | 82_65 | 47 * 233 | 99_34 | 97 * 113 | 19 * 577 | 11 * 997 | 7 * 1567 | 98_37 | 100_11 |
10980 | 79 * 139 | 63_58 | 29 * 379 | 88_57 | 7 * 1571 | 17 * 647 | 11003 | 101 * 109 | 91 * 121 | 23 * 479 | 103 * 107 | 73 * 151 | 11027 | 41 * 269 | 59 * 187 | 83 * 133 |
| + 1 | + 7 | + 11 | + 13 | + 17 | + 19 | + 23 | + 29 | +31 | +37 | + 41 | + 43 | + 47 | + 49 | + 53 | + 59 |
11040 | 61 * 181 | 98_13 | 43 * 257 | 7 * 1579 | 89_56 | 95_18 | 37 * 299 | 85_62 | 70_51 | 53 * 209 | 7 * 1583 | 81_38 | 11087 | 13 * 853 | 103_22 | 11 * 1009 |
11100 | 17 * 653 | 29 * 383 | 41 * 271 | 77_72 | 86_61 | 85_33 | 49 * 227 | 31 * 359 | 105_1 | 43 * 259 | 13 * 857 | 11 * 1013 | 71 * 157 | 93_50 | 19 * 587 | 96_29 |
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