Bilder zum normalen Damen-Problem, n = 8

Beachten Sie: für n=8 gibt es keine Torus-Lösungen.

Für das normale Damen-Problem gibt es 92 Arten, die Damen aufzustellen.

Ordnet man die Lösungen nach Kongruenz innerhalb des Quadrates, ergibt dies die Zerlegung

92 = 11 × 8 + 1 × 4

Das heißt: es gibt 12 inkongruente Lösungen (eine davon ist Punkt-symmetrisch).

Ordnet man weiter nach Torus-Kongruenz, ergibt dies die Zerlegungen

12 = 1 × 7 + 5 × 1,

5 Lösungen sind also auch auf dem Torus verschieden, aber die anderen 7 sind nur gegeneinander verschoben.

92 = 1 × 56 + ( 4 × 8 + 1 × 4),

Das heißt: alle Lösungen kann man von sechs Stellungen auf dem Torus ableiten.

Diese sechs Stellungen zeigen die Bilder unten; von jeder Stellung ist der lexikalisch kleinste Vertreter abgebildet.

Erklärungen zum Verständnis der Bilder

Ein paar Erklärungen zum Verständnis der Bilder: stehen zwei Damen auf derselben Diagonale, so ergibt das einen "Konflikt". Diese Konflikte sind als transparente Linien eingezeichnet, jeweils in verschiedenen Farben. Natürlich muss man sich die Diagonalen auf dem Torus als geschlossene Schleifen vorstellen, die zwei Teil-Bögen zwischen den Damen haben. Eingezeichnet ist nur einer dieser Bögen.

Für jeden Konflikt gibt es Trenn-Punkte, die ein ganzes Trenn-Gebiet ergeben. Diese Gebiete (bestehend aus vier Rechtecken) sind in derselben Farbe eingetragen. Ein Trenn-Punkt liegt dann vor, wenn der Konflikt aufgelöst ist, wenn man den Ursprung an diesen Punkt verschiebt und "normale" Damen betrachtet.

Liegt ein Punkt im Mengen-theoretischen Durchschnitt aller Trenn-Gebiet, so ist er ein Trenn-Punkt für die gesamte Lösungen. Diese Punkte sind mit kleinen roten Kreisen eingezeichnet.

Tabelle mit den Bildern

	Die linke Lösung bezeichne ich als "zwei große J"; das erste "J" hat seine normale Form, es besteht aus den Damen bei (0/0), (1/1), (2/3) und (3/6). Das zweite J ist gespiegelt und 4 Zeilen nach oben verschoben. Diese Lösung hat zwei Konflikts der Länge 1; sie ist symmetrisch bzgl. der Kombination "Spiegelung an der Mittel-Senkrechten" und "Verschiebung um 4 Zeilen". Die Lösung auf der rechten Seite kann man bezeichnen als "V aus Springer-Linien, ein Arm verschoben". Das V steht auf dem Kopf, der erste Arm besteht aus den Damen auf (2/4), (1/2), (0/0) und (7/6), der zweite aus denen auf (3/1), (4/7), (5/5) und (6/3). Diese Lösung hat 14 Trenn-Punkte! Sie hat zwei Konflikte der Länge 3, und ist symmetrisch für die Kombination "Spiegelung an der horizontalen Mittel-Achse" und "Verschiebung um 4 Spalten". Die beiden Lösungen sind ähnlich, jede entspricht einer zentrischen Streckung der anderen mit dem Faktor 3.
	Diese Lösungen kann man mit "zwei kleine L" und "zwei große L" bezeichnen. Die Lösung links hat - wie alle weiteren - 4 Konflikte, 2 von Länge 1, 2 von Länge 2. Bei der Lösung rechts sind die Konflikt Längen 2 mal 2 und 2 mal 3. Beide Lösungen haben keine Symmetrie. Wieder sind die Lösungen ähnlich, jede eine 3-fach-Streckung der anderen.
Die nächste Lösung ist "Zwei parallele Springer-Linien". Konflikt-Längen 1 mal 1 und 3 mal 3; sie ist Punkt-symmetrisch für (½/½) und für (4½/4½).		Das Abbild der Lösung unter 3-fach-Streckung (ohne Bild) hat auch 4 Konflikte (3 mal Länge 1, 1 mal 3), aber keine Trenn-Punkte.
Die letzte Lösung ist noch eine "Zwei kleine L"-Lösung (erstes L aus (6/2), (0/0) und (1/1), zweites aus (2/3), (4/5) und (3/6)). Konflikt-Längen 2 mal 1, 2 mal 2, und keine Symmetrie.		Auch hier hat die 3-fach-Streckung keine Trenn-Punkte.

Wie Sie sehen, führt die Idee der Ähnlichkeit zu einer Reduktion von 6 auf 4 "Basis-Lösungen". Im Fall n=8 reduzieren auch affine Bewegungen dies nicht weiter.