Prim-Zahlen, die als Summe einer Produkt-Zerlegung entstehen

Eine kurze Zahlen-Folge in der Encylopedia of Integer Sequences (EIS) hat mich zu dieser Seite veranlasst. Die Folge hatte die Attribute "more" und "hard"; "more" schien mir richtig, "hard" stimmt wohl nicht.

Es handelt sich um die Folge A088627. Sie zählt, wie viele Prim-Zahlen man erhält, wenn man eine gegebene (gerade) Zahl auf verschiedene Arten in zwei Faktoren zerlegt, und dann diese beiden Faktoren addiert.

Um es formal zu sagen: a(n) = Anzahl der Primzahlen der Form r+s, wobei 2n = r*s.

Ein Beispiel: a(9) = 2. Um dies zu bestimmen, beginnen wir mit 2 * n, was 18 ergibt. Mit diesem Schritt in der Definition der Folge vermeidet man, dass jedes zweite Glied der Folge 0 ist. Wir haben die Produkt-Zerlegungen 18 = 1*18, 18 = 3 * 6 und 18 = 2*9. Die Faktor-Summen ergeben 1+18 = 19, 3+6 = 9, und 2+9 = 11. Unter diesen drei Werten ist 9 nicht prim, 11 und 19 sind Prim-Zahlen. So bekommen wir den Wert 2.

Bisher (bis Anfang Jan 2004) enthielt die Folge in der EIS nur 12 Wert. Hier sind die ersten 1000:

1	1	2	0	2	2	0	1	2	0	.	2	1	0	2	4	0	1	2	0	2	.	4	0	1	1	0	2	1	0	2	4	.	0	0	2	0	4	2	0	1	4	0	.	2	2	0	2	3	0	0	1	0	2
4	0	1	2	0	2	2	0	1	3	.	0	0	2	0	4	3	0	1	3	0	.	1	0	0	2	3	0	2	2	0	1	.	2	0	1	3	0	2	2	0	1	3	.	0	1	1	0	4	2	0	2	4	0
1	2	0	1	8	0	1	0	0	2	.	3	0	1	4	0	2	1	0	3	4	.	0	0	1	0	2	3	0	1	2	0	.	1	1	0	2	4	0	1	2	0	4	.	3	0	1	1	0	1	2	0	1	3
0	0	2	0	4	4	0	2	2	0	.	3	0	0	0	8	0	0	2	0	3	.	3	0	1	2	0	2	1	0	2	1	.	0	2	2	0	2	4	0	0	4	0	.	2	1	0	2	5	0	1	4	0	2
2	0	1	4	0	1	1	0	3	7	.	0	1	0	0	2	2	0	1	3	0	.	4	1	0	2	3	0	1	2	0	3	.	8	0	1	1	0	1	1	0	2	3	.	0	0	1	0	3	3	0	1	3	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
1	2	0	2	5	0	0	0	0	4	.	4	0	0	2	0	3	2	0	1	4	.	0	0	4	0	3	1	0	1	2	0	.	2	2	0	2	5	0	1	2	0	1	.	3	0	1	3	0	2	0	0	2	2
0	0	2	0	3	3	0	2	3	0	.	1	2	0	0	8	0	0	1	0	1	.	2	0	2	1	0	2	0	0	4	7	.	0	0	1	0	2	4	0	2	1	0	.	3	0	0	1	6	0	1	1	0	4
3	0	0	4	0	1	4	0	1	3	.	0	0	2	0	3	2	0	0	2	0	.	4	2	0	3	2	0	2	2	0	4	.	2	0	0	1	0	2	2	0	0	5	.	0	0	2	0	3	3	0	1	6	0
0	2	0	2	2	0	2	1	0	2	.	2	0	2	4	0	0	2	0	2	7	.	0	0	1	0	2	2	0	1	7	0	.	2	1	0	2	6	0	2	2	0	3	.	4	0	1	1	0	1	1	0	0	3
0	0	2	0	7	3	0	1	4	0	.	1	4	0	2	5	0	0	2	0	4	.	2	0	2	1	0	3	2	0	0	2	.	0	0	4	0	4	0	0	1	1	0	.	1	2	0	3	5	0	2	1	0	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
3	0	0	3	0	4	1	0	1	4	.	0	0	1	0	3	4	0	1	4	0	.	1	0	0	2	7	0	1	1	0	3	.	2	0	1	4	0	1	0	0	3	1	.	0	0	1	0	3	8	0	1	2	0
2	1	0	2	6	0	0	3	0	3	.	7	0	0	4	0	0	1	0	1	4	.	0	2	1	0	4	2	0	1	2	0	.	3	1	0	1	8	0	0	1	0	3	.	2	0	1	1	0	2	2	0	1	2
0	2	0	0	2	3	0	2	5	0	.	4	1	0	2	6	0	1	2	0	2	.	1	0	1	4	0	1	3	0	3	5	.	0	0	0	0	1	1	0	3	4	0	.	2	1	0	3	7	0	0	2	0	2
7	0	1	2	0	1	1	0	2	8	.	0	0	3	0	5	3	0	0	2	0	.	2	1	0	0	2	0	0	0	0	4	.	3	0	1	1	0	2	1	0	2	8	.	0	1	3	0	2	2	0	1	3	0
0	1	0	2	3	0	1	1	0	1	.	3	0	1	7	0	1	1	0	1	1	.	0	0	1	0	4	3	0	1	1	0	.	2	2	0	0	5	0	2	2	0	2	.	5	0	1	4	0	1	1	0	2	3
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	1	1	0	3	3	0	1	5	0	.	1	1	0	1	7	0	2	0	0	7	.	3	0	0	3	0	2	3	0	3	4	.	0	1	2	0	3	1	0	0	2	0	.	3	0	0	1	3	0	0	3	0	2
1	0	2	1	0	3	2	0	2	3	.	0	2	2	0	2	3	0	1	7	0	.	1	1	0	0	4	0	1	2	0	3	.	3	0	2	3	0	2	2	0	0	4	.	0	0	0	0	1	3	0	1	2	0
3	1	0	4	7	0	1	3	0	4	.	7	0	0	0	0	1	0	0	1	7	.	0	0	1	0	3	4	0	1	2	0	.	1	0	0	2	4	0	0	2	0	2	.	3	0	2	2	0	1	3	0	1	3
0	0	2	0	4	3	0	0	2	0	.	1	1	0	1	5	0	2	1	0	3	.	2	0	2	7	0	1	1	0	0	4	.	0	1	2	0	8	2	0	1	2	0	.	0	1	0	1	7	0	0	1	0	3
1	0	1	1	0	1	2	0	2	2	.	0	1	1	0	2	8	0	1	3	0	.	0	1	0	2	8	0	0	0	0	2	.	3	0	0	3	0	2	2	0	4	5	.	0	0	2	0	1	3	0	2	2	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.

Wie man sieht, sind die ersten Werte sehr klein. Daher fragte ich mich, ob es auch größere Werte gibt, und ab wo sie vorkommen. Daraus ergibt sich eine neue Folge, die jetzt unter A091350 in der EIS steht. Sie gibt das erste Vorkommen von n entstehenden Prim-Zahlen in der ursprünglichen Folge an. Allerdings habe ich als Wert die gerade Zahl genommen, die in Faktoren zerlegt wird, nicht die Hälfte dieses Wertes, wie es beim Argument der ursprünglichen Folge war. Daher hat die Folge nur gerade Glieder, die positiv oder 0 sind.

Auch hier wieder etwas formaler: die neue Folge b(n) ist definiert durch

   b(n) = k    wenn es ein gerades k gibt, so dass a(k/2) = n,
				  und k die kleinste solche Zahl ist 
                      (d.h. für alle p < k/2 ist a(p) != n)
        = 0    wenn es kein solches k gibt.

Ich vermute, dass 0 nicht in der Folge vorkommt; anders ausgedrückt: ich vermute, dass es für jedes natürliche n eine gerade Zahl k gibt, die durch Faktor-Zerlegung und Addition der Faktoren zu genau n Prim-Zahlen führt.

Ich kann jedoch nicht einmal ausschließen, dass die Folge ab einem gewissen n konstant 0 ist.

Hier sind die ersten 30 Werte für die Folge des ersten Erscheinens, von 0 bis 29: 8, 2, 6, 90, 30, 390, 690, 420, 210, 4290, 3990, 8778, 2310, 3570, 4830, 11550, 38850, 84630, 66990, 79170, 39270, 30030, 51870, 46410, 43890, 111930, 163020, 221340, 419430, 131670.

Wie man sieht, ist die Folge nicht monoton.

Meine Suche ergab auch die Werte b(34) = 746130, b(35) = 903210, b(36) = 570570, b(40) = 510510, b(41) = 690690, und b(46) = 870870.

Bei der Suche habe ich alle geraden Zahlen von 2 bis 1.000.000 in Faktoren zerlegt. Daher ist b(n) > 1000000 für n in der Menge { 30, 31, 32, 33, 37, 38, 39, 42, 43, 44, 45} und für n > 46.

Vielleicht haben auch Sie bemerkt, dass einige Werte in den drei Tausender-Stellen dieselbe Ziffern-Folge haben wie in den drei Einer-Stellen. So zum Beispiel bei b(36) = 570570, wo man einfach 570 zweimal hintereinander schreibt und das Ganze als sechsstellinge Dezimal-Zahl liest. Dasselbe passiert bei b(40), b(41), b(46), und auch bei b(21) = 30030, wenn man eine führende 0 ergänzt. Das beruht darauf, dass 1001 = 7 * 11 * 13 ein Produkt von kleinen Prim-Zahlen ist, die nahe beieinander liegen, und dass Produkte von vielen Primzahlen zu vielen Faktor-Zerlegungen führen, aus dene sich dann viele Möglichkeiten für Prim-Zahlen ergeben.

Dies führt auch zu einer oberen Grenze für die ursprüngliche Folge a(n) = A088627.

(Dieses Lemma steht hier als .gif-Datei, da latex2html bei mir noch nicht richtig läuft.)