Stammbäume zum Damen-Problem

The representation of the arrows should remind of the type of movement. Is the arrow of sheer small squares that are compressed laterally, as they say in everyday language for the general affine transformations. The squares have expressed mathematically suffered a shear. Shears are the simplest affine transformations, which go beyond central dilations and congruent figures. The matrix for the imaging and the vector for the subsequent shift indicated above the arrow. Under the arrow is the numbering of the affine nucleus, starting with a capital A.

Es kommt vor, dass sich aus einem affinen Keim mehrere Lösungen erzeugen lassen, die nicht zueinander ähnlich sind; ähnlich ist im Sinne von "Zentrische Streckungen und kongruente Bewegungen" gemeint. In diesem Fall führt ein senkrechter affiner Pfeil zum Ähnlichkeits-Keim von weiteren Lösungen.

Der Pfeil für eine zentrische Streckung soll an einen Storchenschnabel (oder Pantografen) erinnern. Der Mechanismus wird auch für eine Auszieh-Halterung eines Rasier-Spiegels verwendet, ein schönes Bild mit Animation dazu findet sich im Englischen Wikipedia, wenn man dort nach "Pantograph mirror" sucht. Der Streckungs-Faktor k ist mit "by k" über dem Pfeil angegeben. Ausgangspunkt ist dabei immer der Ähnlichkeits-Keim, nicht die vorherige gestreckte Figur.

Es kommt vor, dass die Streckungen mit mehreren verschiedenen Faktoren zu Lösungen führen, die kongruent sind. In diesem Fall stehen die weiteren Faktoren über dem Ähnlichkeits-Keim, mit dem Text "also for ...".

Die Assoziation zum Verschiebe-Pfeil ist, dass der Pfeil aus roten Bauklötzchen aufgebaut ist und jedes zweite verschoben wurde. Beim Pfeil steht der Vektor, um den verschoben wird.

Der blaue Doppelpfeil für die Spiegelung und der grüne runde Pfeil für die Drehungen brauchen wohl keine weitere Erläuterung.

Den kleinsten Lösungs-Baum gibt es für n=4. Im affinen Keim der Lösung sind die Damen kompakt in einem kleinen Quadrat angeordnet.

Für n=5 stehen die Damen im affinen Keim alle in einer Reihe. Eine solche sehr einfache Lösung gibt es immer dann, wenn n weder durch 2 noch durch 3 teilbar ist; sie ist dann auch eine Lösung für das Torus-Problem.

Erstmals ergeben sich durch Verschiebung Lösungen über die Dieder-Gruppe hinaus.

Eine weitere Besonderheit von n=5 ist, dass alle Lösungen des normalen Damen-Problems auch Lösungen des Torus-Problems sind. Das kommt sonst nie wieder vor.

Für n=6 gibt es weniger Lösungen als für n=5; das liegt vor allem daran, dass die regelmäßigen Lösungen, die es bei n=5 gibt, wegfallen.

Die Damen im affinen Keim stehen wieder kompakt, in einem 2 mal 3 Rechtecke.

Bei n=7 wird das Bild größer: es gibt erstmals mehrere affine Keime, und damit verschiedene Hintergrund-Farben für die verschiedenen Grüppchen.

Es gibt wieder die sehr einfache Lösung mit allen Damen in einer Reihe.

Zum ersten Mal gibt es auch den Fall, dass eine Streckung zu einer Sackgasse führt: sie lässt sich nicht so verschieben, dass die Konflikte aufgelöst sind.

Der klassische Fall n=8: dieser Fall ist auch im oben erwähnten Artikel behandelt.

Es gibt 4 affine Keime, die auf 6 Ähnlichkeits-Keime führen. Zweimal gibt es wieder ein Sackgasse.

Eine große Anzahl von Lösungen, nämlich 56, stammen von demselben Ähnlichkeits-Keim. Zusammen mit der Streckung sind es sogar 64, also mehr als zwei Drittel der Gesamt-Zahl! Das liegt daran, dass es in diesem Zweig nur 2 Konflikte gibt (siehe "Konflikte"), während die anderen Zweige 4 Konflikte haben. Je höher die Anzahl von Konflikten, desto weniger Lösungen auf diesem Zweig.

Baut man den Stammbaum für n=9 nach genau denselben Regeln auf, dann wird das Bild sehr länglich. Deswegen ist es hier aufgeteilt, in 3 Teile.

Insgesamt gibt es 10 Affine Keime; der Keim A4 ist besonders fruchtbar und erzeugt ganz allein das größte Bild (unten) mit 232 der 352 Lösungen. Im ersten Bild (rechts) erzeugen 4 Keime 48 Lösungen, und im dritten Bild (unten rechts) 5 Keime 72 Lösungen.

Interessant ist der Keim A3, bei dem die Damen kompakt in einem 3 mal 3 Quadrat stehen.