Grafiken zum Weltrekord: Q27

Verteilung der Lösungen, abhängig von der Position der ersten Dame

Als erstes eine Grafik, die die Anzahl der Lösungen abhängig von der Position der Dame auf der ersten Zeile enthält, und zum Vergleich dasselbe für Q26 (Weltrekord 2009), natürlich in einem anderen Maßstab.

Verteilung der Lösungen, abhängig von der Dame auf der ersten Reihe. Links für Q26, rechts für Q27, jeweils ohne die oberen symmetrischen Werte.

Zur Änhlichkeit der Verteilung bei verschiedenen Brett-Größen

Die beiden Grafiken sehen sehr ähnlich aus. Das ändert sich, wenn man sie in einer Grafik zusammenstellt; dann gilt für beide Brett-Größen der gleiche Maßstab. Um die Ähnlichkeit genauer zu sehen habe ich die Zahlen doppelt relativiert: horizontal in Positionen zwischen 0 und 300 (inklusive), und vertikal so, dass das Maximum in der Mitte der Referenz-Punkt 1.0 (oder 100 Prozent) ist. Damit sind die Kurven fast identisch; auch die zusätzlich hinzugenommene Linie für Q21 bringt kaum Abweichungen.

Für diese Kurve habe ich die folgende relative einfache Formel gefunden:

r(x) = 0.2 + 0.4 * (1 + sin (x / n - 0.72))

Damit kann man dann auch die Anzahl der Lösungen bei gegebener erste Dame abschätzen. Diese Formel ist in die Grafik mit aufgenommen.

Links der absolute Vergleich zwischen Q26 und Q27; rechts doppelt relativiert: horizontal die relative Position der Dame auf der ersten Reihe, vertikal das Verhältnis der aktuellen Zahl gegen das Maximum, das in der Mitte liegt. In diese Grafik sind auch die Werte für Q21 mit aufgenommen.

Da die Abweichung so gering ist, zeige ich hier eine Vergrößerung. Sie enthält die Abweichungen von der Formel für die drei betrachteten Brett-Größen. Um negative Zahlen zu vermeiden, sind die Werte um 0.01 verschoben; der mittlere Wert 0.01 heißt also: hier keine Abweichung.

Genauere Verteilung: abhängig vom ersten Damen-Paar

Ein genaueres Bild zeigt die Anzahl von Lösungen, abhängig von den ersten zwei Damen. Links für Q26 (von 2009), rechts die neuen Zahlen von 2017.

Die Lücken auf der linken Seite kommen natürlich daher, dass die Felder (1,n-1), (1,n), (1,n+1) verboten sind, wenn auf (0,n) eine Dame steht. Aber woher das "Gekräuselte", das regelmäßige Auf und Ab, kommt, weiß ich nicht; es wäre schon interessant!

Noch ein Tip zum Zusammenhang zu den erstem Grafiken oben (Anzahl pro erster Dame): jede Linie hier entspricht einem Balken dort, und die Höhe des Balkens dort ist die Fläche unter der Linie hier.

Die Bilder sind nicht symmetrisch, da nur die Linien für die erste Dame zwischen 0 und n/2 eingezeichnet sind. Nimmt man die weiteren Linien dazu, dann ergibt sich ein Bild, bei dem es zu jeder Linie auch das Spiegelbild gibt. Über der Mitte 13 treffen sich die beiden Linien.